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图论相关概念及举例

希赛网 2023-11-20 16:37:35

图论是一门研究由点和边构成的图的性质、结构、算法和应用的数学分支学科。图论广泛应用于计算机科学、电子通信、运筹学、物理学、化学、生物学、经济学、社交网络等领域。本文将从多个角度分析图论相关概念,并通过实例加深理解。

1. 基本概念

1.1 无向图和有向图

无向图指图中每个边都是无方向的;有向图指每个边都有固定的方向。例如,下图为一个无向图和有向图。

![无向图和有向图示例](https://i.imgur.com/g7JETxQ.png)

1.2 简单图和多重图

简单图指没有自环和重边的图;多重图指带有自环或重边的图。例如,下图为一个简单图和多重图。

![简单图和多重图示例](https://i.imgur.com/XE2LYzG.png)

1.3 度数

无向图中,每个点的度数是其相邻边的数量;有向图中,每个点的出度是其指向其他点的边的数量,入度是指向该点的边的数量。例如,下图为一个无向图和有向图,每个点的度数和出入度分别为多少?

![度数示例](https://i.imgur.com/92EHNqY.png)

2. 最短路径算法

2.1 Dijkstra算法

Dijkstra算法是用于解决有向加权图或无向图的单源最短路径问题的算法。该算法通过维护每个点到源点的距离的估计值和一个未确定的集合,逐步确定每个点到源点的最短距离。例如,下图为一个有向加权图,使用Dijkstra算法求解A点到其他点的最短路径。

![Dijkstra算法示例](https://i.imgur.com/q86IONu.png)

2.2 Floyd算法

Floyd算法是解决任意两点间的最短路径问题的一种算法。该算法的基本思想是动态规划,在遍历过程中逐步更新点之间的距离估计值。例如,下图为一个有向加权图,使用Floyd算法求解任意两点间的最短路径。

![Floyd算法示例](https://i.imgur.com/HKbhq2x.png)

3. 网络流算法

3.1 最大流问题

最大流问题是指在一个带源点和汇点的网络图中,从源点到汇点的最大流量。这个问题可以使用Ford-Fulkerson算法或其变种算法解决。例如,下图为一个网络流问题,使用Ford-Fulkerson算法求解最大流。

![最大流问题示例](https://i.imgur.com/mCXCFFe.png)

3.2 最小割问题

最小割问题是指在一个带源点和汇点的网络图中,通过删除最少的边,将源点和汇点从图中分开。例如,下图为一个网络流问题,使用最小割算法将源点和汇点从图中分开。

![最小割问题示例](https://i.imgur.com/BY7G3bB.png)

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