完全二叉树和满二叉树图解

在计算机科学中，二叉树是一种常见的数据结构，常用于搜索算法、排序算法等领域。其中的完全二叉树和满二叉树是两种特殊的二叉树形式，它们具有一些特殊的性质和应用场景。本文将从多个角度分析和解释这两种树形结构，并展示它们的图解示例。

一、完全二叉树的定义

完全二叉树是指除了最后一层，其他层的节点都被填满，最后一层的节点靠左排列，并且没有空隙的二叉树。换句话说，就是最后一层的节点可以少一些，但是如果有节点，必须都靠左边排列。

二、满二叉树的定义

满二叉树是指一棵深度为k且有2^k-1个节点的二叉树。其中，每一层的节点数都是满的。

三、完全二叉树和满二叉树的区别

从定义上来说，完全二叉树的节点可以不满，但是在满二叉树中，除了叶子节点，所有的节点都有两个子节点。因此，满二叉树的节点数比完全二叉树多。

四、完全二叉树的性质

1. 如果完全二叉树的深度为k，则其节点数需要满足n >= 2^k-1，n表示节点数。

2. 对于任意一个下标为i的节点，如果i > 1，则它的父节点的下标为floor(i/2)。

3. 对于任意一个下标为i的节点，如果2i <= n，则它的左子节点的下标为2i；如果2i > n，则没有左子节点。

4. 对于任意一个下标为i的节点，如果2i+1 <= n，则它的右子节点的下标为2i+1；如果2i+1 > n，则没有右子节点。

五、满二叉树的性质

1. 满二叉树的叶子节点数量为2^(k-1)，其中k表示深度。

2. 满二叉树的节点数为2^k-1，其中k表示深度。

3. 满二叉树的深度为log2(n+1)，其中n表示节点数。

六、完全二叉树和满二叉树的图解示例

完全二叉树的图解示例：

```

1 depth = 0

/ \

2 3 depth = 1

/ \ /

4 5 6 depth = 2

/ \

7 8 depth = 3

```

满二叉树的图解示例：

```

1 depth = 0

/ \

2 3 depth = 1

/ \ / \

4 5 6 7 depth = 2

/ \

8 9 depth = 3

```