完全二叉树算法

完全二叉树是一种特殊的二叉树结构，在计算机科学领域有广泛的应用。本文将从定义，性质，特点和算法等多个角度进行分析，以便更好地理解和应用完全二叉树算法。

1. 定义

完全二叉树是指一个二叉树，其每一层的结点数都达到最大值，除去最后一层，其他层的结点数都是2的幂次方。最后一层的结点排列必须是从左到右依次排列，不能有空缺。

2. 性质

完全二叉树的深度为log n，n为结点数。

若将完全二叉树的结点按照层号从1开始从上至下、从左到右排序，则对于任意一结点i，有：

a. 若i = 1，则结点i为二叉树的根；否则结点i的父亲结点为结点i/2取下整。

b. 若2i > n，则结点i为叶结点；否则结点i的左孩子为结点2i，右孩子为结点2i+1。

3. 特点

完全二叉树具有以下几个特点：

a. 对于一颗有n个结点的完全二叉树，因为根节点可以遍历完所有结点，所以无论采用什么遍历方法，时间复杂度都为O(n)。

b. 对于一个结点i，若其在完全二叉树中为左孩子，那么它的兄弟结点i+1一定存在；否则，若i为右孩子，则其兄弟结点i+1可能存在也可能不存在。

c. 若最后一层结点数小于2^(k-1)，则第k层中2^(k-1)-n个结点为虚结点。

4. 算法

最常见的完全二叉树算法是堆排序。堆排序的原理就是将待排序序列构建成完全二叉树的一个大根堆或小根堆，然后依次将堆的根节点取出放到新序列中。各种最优时间复杂度为O(n log n)。

5. 应用

完全二叉树主要应用于堆排序、优先队列、哈夫曼树、图的最短路径等算法。例如，使用Dijkstra算法求解最短路径时，我们可以使用优先队列将未处理的结点按照距离从小到大排序，这时候构建的优先队列就是一个完全二叉树。