标准差的计算例题

标准差是统计学中最常用的分布度量。它测量一组数据的离散程度，并表现为一组数据的平均差异程度。标准差的计算方法可以帮助我们更加深入地理解数据的分布情况，从而更好地分析和解读数据。在本篇文章中，我们将介绍标准差的计算方法，并通过一个计算例题从多个角度深入分析标准差的应用。

一、标准差的计算方法

标准差有两种计算方法：样本标准差和总体标准差。样本标准差计算公式为：

s = sqrt [ Σ(xi - x)^2 / (n-1) ]

其中，s表示样本标准差，xi表示第i个数据点，x表示样本平均值，n表示样本容量。总体标准差计算公式稍有不同：

σ = sqrt [Σ(xi - μ)^2 /N]

其中，σ表示总体标准差，xi表示第i个数据点，μ表示总体平均值，N表示总体容量。

样本标准差和总体标准差的计算方法在实际应用中有所不同。如果我们只拥有部分数据集合，需要估计整体差异的时候，通常使用样本标准差。如果我们有完整的数据集合，知道总体平均值和总体容量，那么就可以使用总体标准差。

二、标准差的应用场景

标准差在各种领域都有广泛应用。在金融领域，标准差被用来衡量投资组合的风险。在质量控制领域，标准差用于测量产品制造过程的离散程度。在教育领域，标准差用于评估学生的成绩离散程度。

三、标准差计算例题的分析

下面通过一个标准差计算例题来更加深入地理解标准差的应用。假设我们有一个成绩数据样本，其中6个学生的数学成绩如下所示：75、80、82、95、87、90。我们将使用样本标准差的公式来计算这些成绩的标准差。

首先，我们需要计算出这6个数学成绩的平均值：

x = (75+80+82+95+87+90)/6 = 85.83

接下来，我们需要计算出每个成绩与平均值的差距，并将其平方：

(75-85.83)^2 = 123.42

(80-85.83)^2 = 33.96

(82-85.83)^2 = 14.74

(95-85.83)^2 = 86.42

(87-85.83)^2 = 1.32

(90-85.83)^2 = 21.94

然后我们将这些平方差加起来，并将结果除以 (n-1) = 5 ：

Σ(xi - x)^2 / (n-1) = (123.42+33.96+14.74+86.42+1.32+21.94) / 5 = 68.8

最后，我们需要对这个数值取平方根，即可得到这组成绩的标准差：

s = sqrt (68.8) = 8.29

通过这个计算例题，我们可以看出这6个学生的数学成绩相对集中，标准差为8.29分，低于平均值的10%。