DFA最小化

DFA 最小化

自动机是计算理论中的一个重要概念。在机器学习等领域，构建自动机常常是一个必要的步骤。而对于一个给定的自动机，我们往往希望能够找到一个最小的等价自动机，这个过程就是 DFA 最小化。

DFA 最小化的定义

首先，回顾一下什么是 DFA，DFA 是一个 5 元组 $(Q, \Sigma, \delta, q_{0}, F)$，其中：

- $Q$ 是状态集合

- $\Sigma$ 是字母表

- $\delta$ 是状态转移函数，$Q \times \Sigma \rightarrow Q$

- $q_{0}$ 是初始状态

- $F \subseteq Q$ 是终止状态集合

对于一个 DFA，我们希望找到一个等价的 DFA，但此 DFA 的状态数最小。换句话说，我们需要将自动机中那些可以合并到一起的状态合并起来，并去除不必要的状态，得到一个状态数尽可能少的 DFA，使得它和原来的 DFA 是等价的。

DFA 最小化的实现

一个基本的 DFA 最小化算法是 Hopcroft 算法，它的时间复杂度为 $O(n \log n)$。Hopcroft 算法基于等价状态的划分，对于初始状态的划分，它会不断进行分割，直到不能再分，其过程可以概括为下面几个步骤：

1. 初始化划分

Hopcroft 算法从初始划分 $(F, Q \setminus F)$ 开始，其中 $F$ 是 DFA 的终态集合。

2. 迭代划分

对于初始划分以及之后的每一个划分，Hopcroft 算法沿着 DFA 的输入字符进行分割，这是一个类似于分治法的过程：

- 对于当前划分中的每个状态 $S$，和每个输入字符 $a \in \Sigma$，计算出 $\delta(S, a)$，这个集合中的状态是当前划分中的等价状态

- 寻找能够将当前状态划分成两个等价集合的输入字符，假设找到的输入字符为 $a$

- 使用 $a$ 将当前划分进行划分，得到新的划分，更新当前划分

这个过程一直重复，直到无法再进行划分为止。

3. 合并状态

进行迭代的过程中，每次划分都会产生一些新的状态，即那些发生了划分的状态。为了获得一个最小化的 DFA，我们需要进一步合并这些状态。Hopcroft 算法使用了一种优化的思路：在当前划分中，每个等价类所包含的状态数量是相同的，因此我们可以维护每个等价类关于 DFA 中所有状态的补集，当一个状态被加入到等价类中时，它的补集就会减去这个状态，如果补集的大小为 0，说明等价类中已经包含了所有状态，不需要继续加入其他状态。

DFA 最小化的应用

DFA 最小化的应用非常广泛，比如，在编译原理中，词法分析器和语法分析器都使用了 DFA 最小化算法，因为它能够减小不必要的状态数，提高自动机的执行效率。另外，在机器学习算法中，一些分类模型如果使用了 DFA 最小化算法，还能够提高模型的准确性。