计算机中定点数和浮点数的表示方法

计算机是一种数字计算工具，按照二进制方式存储和处理数据。数值在计算机内部的存储方式分为两种：定点数和浮点数。本文将从多个角度对这两种数值的表示方法进行分析。

一、定点数的表示方法

计算机内部的所有数值都是以二进制补码的方式来进行表示的。在计算机中用$n$位二进制数表示一个定点数时，首先要给出一个固定的小数点位置。在小数点左边的部分（称为整数部分）是用模拟标准二进制（即原码）表示，而小数点右边的部分（称为小数部分）则是用固定的位数来表示。

例如，假设我们用8位二进制表示一个小数，其中小数点位置为第4位，那么对于正数$5.875$，其定点数的表示方法为：

$$\begin{aligned}5.875&=5+0.875\\ &=101.111_2\\ &=0101.1110_2\end{aligned}$$

因为这是一个正数，所以它的二进制补码就是它自己。因此，我们可以用$01011110_2$来表示这个定点数。

二、浮点数的表示方法

浮点数是一种能够表示非常大或非常小的实数的数值类型，在计算机科学中广泛使用。浮点数采用科学计数法的形式表示，由三个部分组成：符号位、指数和尾数。

符号位用于表示这个实数的正负性，指数用于表示这个实数的基数移动多少位，尾数则表示小数点后面的有效数字。

IEEE 754标准将浮点数表示方法标准化了。在这个标准中，单精度浮点数（即32位浮点数）的表示方法如下：

第1位表示符号位，0表示正数，1表示负数；第2-9位表示指数部分，采用移码表示法，其中真实指数为指数部分的值减去127；第10-32位表示尾数部分，最高位默认为1。

例如，对于实数$-3.75$，其浮点数的表示方法为：

$$\begin{aligned}-3.75&=-11.11_2\\ &=-1.1111\times2^1\\ &=-111.1\times2^{-2}\end{aligned}$$

因为它是一个负数，所以符号位为1。真实指数为$1-127=-126$，二进制表示为$10000010_2$。尾数的二进制表示为$11110000000000000000000_2$，因为最高位默认为1，所以不需要显式地存储。

因此，$-3.75$的单精度浮点数的二进制表示为$11000001011110000000000000000000_2$。

三、定点数和浮点数的比较

1. 数值范围

在相同的位数下，定点数的数值范围比浮点数要小。比如，对于8位二进制数，定点数的最大值为$2^{7}-1=127$，最小值为$-2^{7}=-128$，而单精度浮点数可以表示的最大值约为$3.4\times10^{38}$，最小值约为$1.4\times10^{-45}$。

2. 精度

在相同的位数下，定点数的小数位数是固定的。如果要增加精度，就需要增加整数部分的位数。而浮点数的小数位数是可以变化的，可以根据需要进行调整，因此浮点数具有更高的精度。

3. 计算速度

定点数的加法和减法比较简单，可以直接进行二进制下的加减。而浮点数的加法和减法涉及到指数的比较和移位操作，计算速度相对较慢。