用辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数是初中数学学习的重要内容之一。在数学的后续学习中，这两个概念也经常用于解决问题。而求最大公约数和最小公倍数时，我们可以运用辗转相除法，这是一种简单易懂的方法。

一、辗转相除法的原理

辗转相除法，又叫欧几里德算法，是求两个正整数的最大公约数的一种方法。其原理基于以下定理：两个正整数 a, b (a>b)，它们的最大公约数等于其较小数 b 和对 a÷b 的余数 r 的最大公约数。即 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，其中 mod 表示取余数。

例如，要求 48 和 60 的最大公约数，我们可以按照以下步骤：

　　60 ÷ 48 = 1 ...... 12

　　48 ÷ 12 = 4 ...... 0

则有：gcd(48, 60) = gcd(12, 48) = gcd(0, 12) = 12。

二、辗转相除法的步骤

用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

1. 首先，找到两个正整数中较小的数 b 和较大的数 a。

2. 将 a ÷ b 取商数（整数部分），将余数 r 记录下来。

3. 将 b ÷ r 取商数（整数部分），将余数 r 记录下来。

4. 重复上述步骤，直到最后余数为 0。

5. 最大公约数即为最后除数（也就是上一步中余数为 0 时的被除数）。

用辗转相除法求最小公倍数的步骤如下：

1. 用两个正整数的乘积除以它们的最大公约数，即为最小公倍数。

例如，求 48 和 60 的最小公倍数，可以按照以下步骤：

　　gcd(48, 60) = 12

　　48 × 60 ÷ 12 = 240

则有：lcm(48, 60) = 240。

三、辗转相除法的优点

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数有以下优点：

1. 与其他方法相比，辗转相除法计算简单。

2. 辗转相除法的原理和步骤容易理解，有利于初学者掌握。

3. 辗转相除法运用广泛，可以处理绝大多数常见的数学问题。

四、辗转相除法的应用

辗转相除法不仅可以用于求最大公约数和最小公倍数，还可以应用于求解正整数的倍数关系、构造简单连分数等问题中。

例如，要将 135/28 的分数化为连分数，可以按照以下步骤：

　　(1) 135 ÷ 28 = 4 ...... 23

　　(2) 28 ÷ 23 = 1 ...... 5

　　(3) 23 ÷ 5 = 4 ...... 3

　　(4) 5 ÷ 3 = 1 ...... 2

　　(5) 3 ÷ 2 = 1 ...... 1

则有：135/28 = [4; 1, 4, 1, 1]= 4+（1÷（4+（1÷（4+（1÷（1+（1÷2）））））））。这就是将一个分数转化为连分数的方法。