构造最优二叉树的例题

在计算机科学中，二叉树是最常见的数据结构之一，它有许多应用，例如搜索算法、数学表达式、文件系统、图形算法等等。一个好的二叉树可以大大提高程序的效率，降低内存和时间的使用，然而，如何构造一颗最优的二叉树却是一个很有意思的问题。

构造最优二叉树通常是指构造一颗具有最小期望搜索代价的二叉树，也叫做哈夫曼树或前缀树。搜索代价是指在二叉树中查找某个节点所需的比较次数。一棵二叉树的期望搜索代价是它包含的所有叶子节点的深度之和与权值的乘积，其中权值通常表示该节点被访问的概率。

现在我们来看一个例题：假设有5个字符 A、B、C、D、E 出现的概率分别是 0.34、0.2、0.15、0.12、0.19。我们需要构造出一颗最优二叉树。

首先，将这些字符按照概率从大到小排序，得到如下表格：

字符名 | 概率

------|--------

A | 0.34

E | 0.19

B | 0.2

C | 0.15

D | 0.12

接着，我们按照以下步骤构造最优二叉树：

1. 将概率最小的两个字符取出，构造一个新节点作为它们的父节点，并将其概率设为两个子节点的概率之和。

2. 将新节点插入概率列表中，并重新排序。

3. 重复1和2，直到只剩下一个节点为止，该节点为根节点。

我们首先取出 D 和 C，概率之和为 0.27，构造新节点 DC，得到以下表格：

字符名 | 概率

------|--------

A | 0.34

E | 0.19

B | 0.2

DC | 0.27

接下来，我们取出 DC 和 B，概率之和为 0.47，构造新节点 DCB，得到以下表格：

字符名 | 概率

------|--------

A | 0.34

E | 0.19

DCB | 0.47

B | 0.2

然后，我们取出 A 和 E，概率之和为 0.53，构造新节点 AE，得到以下表格：

字符名 | 概率

------|--------

AE | 0.53

DCB | 0.47

B | 0.2

最后，我们取出 AE 和 DCB，概率之和为 1，构造新节点，得到以下最优二叉树：

1

/ \

DCB AE

/ / \

DC E B

/ \

D C

这颗二叉树的期望搜索代价为 2.29。也就是说，平均来说，查找任意字符所需的比较次数为 2.29 次。

但是这个例题只涉及了5个字符，如果涉及更多的字符，我们是否需要手动计算呢？实际上，我们可以通过构造哈夫曼树的算法来快速计算出最优二叉树。哈夫曼树的构造算法有两种：贪心算法和动态规划算法。这里我们简单介绍一下贪心算法。

贪心算法基本思想是每次选择两个概率最小的节点进行合并。可以证明，这种算法构造出来的二叉树是最优的。贪心算法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 表示字符的个数。由于速度快、资源消耗小、误差少等优点，贪心算法已经成为了哈夫曼树最常用的构造算法之一。

除了哈夫曼树，还有其他一些二叉树优化算法，例如伸展树、AVL树、红黑树等。这些算法都具有不同的优点和适用范围，在实际应用中需要根据具体的情况进行选择和优化。

总之，构造最优二叉树是一个有意思的问题，它可以帮助我们优化程序的性能，提高程序的效率，降低资源的消耗。通过对哈夫曼树和其他优化算法的理解和应用，我们可以更好地理解和掌握数据结构和算法的本质。