矩阵的定义和运算

矩阵是数学中的一个重要概念，它是由数按照一定规律排列成的矩形阵列，是数学中矢量、线性方程组、线性变换等问题的基础工具。在矩阵的定义和运算中，我们要从多个角度来考虑。

一、矩阵的定义

定义一：矩阵是由m行n列数所构成的矩形排成的数表，称为m行n列的矩阵，记作$A_{m*n}$。

例如，下面是一个3行2列的矩阵：

$$

A=\begin{pmatrix}

1&2 \\

3&4 \\

5&6 \\

\end{pmatrix}

$$

定义二：矩阵还可以表示为一个数域上的线性变换的矩阵。

例如，下面是三维空间中的一组基底$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$，以及一个向量$\boldsymbol{v}$:

$$

\boldsymbol{i}=\begin{pmatrix}

1 \\

0 \\

0 \\

\end{pmatrix},

\boldsymbol{j}=\begin{pmatrix}

0 \\

1 \\

0 \\

\end{pmatrix},

\boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}

0 \\

0 \\

1 \\

\end{pmatrix},

\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}

1 \\

2 \\

3 \\

\end{pmatrix}

$$

则$\boldsymbol{v}$可以表示为$\boldsymbol{v}=1\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，进一步地，我们可以把向量$\boldsymbol{v}$表示为矩阵$A$与基底矩阵$B$的乘积:

$$

A=\begin{pmatrix}

1&2&3 \\

\end{pmatrix},

B=\begin{pmatrix}

1&0&0 \\

0&1&0 \\

0&0&1 \\

\end{pmatrix},

AB=\begin{pmatrix}

1&2&3 \\

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

1&0&0 \\

0&1&0 \\

0&0&1 \\

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

1&2&3 \\

\end{pmatrix}=A

$$

二、矩阵的运算

矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。

1.加法

矩阵的加法定义为：若有两个矩阵$A_{m*n}$和$B_{m*n}$，则它们的和$C_{m*n}$为每个元素之和，即$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$。

例如，下面是两个3行2列的矩阵$A$和$B$的和：

$$

A=\begin{pmatrix}

1&2 \\

3&4 \\

5&6 \\

\end{pmatrix},

B=\begin{pmatrix}

7&8 \\

9&10 \\

11&12 \\

\end{pmatrix},

A+B=\begin{pmatrix}

8&10 \\

12&14 \\

16&18 \\

\end{pmatrix}

$$

2.数乘

数乘定义为：若有数$k$和矩阵$A_{m*n}$，则它们的积$B_{m*n}$为$kA_{ij}$。

例如，下面是一个3行2列的矩阵$A$和数$k=2$的积：

$$

A=\begin{pmatrix}

1&2 \\

3&4 \\

5&6 \\

\end{pmatrix},

2A=\begin{pmatrix}

2&4 \\

6&8 \\

10&12 \\

\end{pmatrix}

$$

3.乘法

矩阵的乘法在定义上稍微有点复杂。若有两个矩阵$A_{m*p}$和$B_{p*n}$，它们的积$C_{m*n}$为：

$$

C_{ij}=\sum_{k=1}^pA_{ik}B_{kj}

$$

即$C$的第$i$行第$j$列元素为$A$的第$i$行的元素与$B$的第$j$列的元素逐一相乘并累加。注意，只有当$A$的列数等于$B$的行数时，它们才可以相乘，结果矩阵的尺寸为$A$的行数和$B$的列数。

例如，下面是一个2行3列的矩阵$A$和一个3行2列的矩阵$B$的积：

$$

A=\begin{pmatrix}

1&2&3 \\

4&5&6 \\

\end{pmatrix},

B=\begin{pmatrix}

7&8 \\

9&10 \\

11&12 \\

\end{pmatrix},

AB=\begin{pmatrix}

58&64 \\

139&154 \\

\end{pmatrix}

$$

再例如，我们回到定义二中的例子，用矩阵乘法表示向量的线性变换：

$$

\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}

1&2&3 \\

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

1&0&0 \\

0&1&0 \\

0&0&1 \\

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

1 \\

2 \\

3 \\

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

1 \\

2 \\

3 \\

\end{pmatrix}

$$

可以发现，这个结果还是向量$\boldsymbol{v}$本身。