什么叫完全二叉树

完全二叉树是一种特殊的二叉树结构，其在计算机科学中有广泛的应用。在许多算法和数据结构中，完全二叉树常常是一个最优的选择。本文将从多个角度来解释什么是完全二叉树，以及它的一些基本特征和应用。

一、定义

完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每一层都被完全填充，并且所有叶子节点都出现在最后一层或者倒数第二层。在同一层中，从左到右排列所有节点，使得所有节点的位置都符合完美的二叉树形式，缺少的节点用 null 来表示。

二、性质

1. 度数特征

对于除了最后一层外的所有层，每个节点都有两个子节点。对于最后一层，所有的节点都是左侧部分的节点，也就是说所有的节点都没有右子节点，其度数都为 0 或 1。

2. 节点数量

设完全二叉树的高度为 h，那么对于 0 <= i <= h-1 的一般节点，它的编号为 i ，从上到下，从左到右，其编号为 2i+1 和 2i+2 。因此，完全二叉树 n 个节点时高度为 log2(n)+1 或 log2(n)。

3. 特殊节点

在完全二叉树中，叶子节点的数量要么为 0，要么为 1，要么是完全均分的。

三、性能

由于其特殊性质，完全二叉树具有以下两个优点：

1. 搜索效率高

在完全二叉树中搜索元素的平均时间复杂度为 O(log n)，是一种高效的数据结构。

2. 空间利用率高

在完全二叉树中，未用到的最后一层是没有节点的，这样就可以避免存储浪费，表现出了非常高的空间利用率。

四、应用

1. 堆

堆是一种数据结构，它是完全二叉树的一种应用。因为堆能够在最短时间内在根节点中获得最小元素或最大元素，所以广泛应用于排序等算法中。

2. 优先队列

优先队列是一种队列，它是一种完全二叉树的应用。在优先队列中，元素被按照优先级进行排列。通常优先队列用于实现高效的排序算法，如 Dijkstra 算法。

3. 字典树

字典树是一种特殊的树结构，它也可以用完全二叉树来实现。字典树通常用于字符串匹配的算法中。在字典树中，每个节点代表一个字符，可以非常有效地实现前缀匹配。