非空满二叉树和满二叉树区别

树是计算机科学的一个重要概念，二叉树是最常见的树形结构之一。二叉树与满二叉树和非空满二叉树是常见的二叉树模型。尽管它们都是二叉树，但它们之间存在显著的区别。本文将从多个角度分析非空满二叉树和满二叉树之间的区别。

1.定义

非空满二叉树：非空满二叉树是由$n$个结点组成的二叉树，其中每个结点都具有0或2个非空子结点。

满二叉树：满二叉树是由$n$个结点组成的二叉树，其中每个结点都具有0或2个子结点。在满二叉树中，所有的叶子结点都在同一层，并且每个非叶子结点都有两个子结点。

2.特点

非空满二叉树：由于每个结点都具有0或2个非空子结点，所以非空满二叉树的内部结点数为$n-1$，叶子结点数为$(n+1)/2$。非空满二叉树与满二叉树的不同之处在于它可以是任意高度。

满二叉树：由于满二叉树的每个非叶子结点都有两个子结点，所以它的内部结点数为$n-1$，叶子结点数为$2^{h}$，其中$h$是满二叉树的高度。满二叉树的高度为$O(log_2 n)$。

3.性质

非空满二叉树和满二叉树有许多性质，以下是一些重要的性质。

非空满二叉树：

（1）对于一个非空满二叉树，如果用$T_i$表示第$i$层的结点数，则有$T_1 = 1$，$T_i=2^{i-1}(i>1)$；

（2）高度为$h$的非空满二叉树中，共有$\sum\limits_{i=1}^{h}{2^{i-1}}=2^h-1$个结点；

（3）高度为$h$的非空满二叉树的空指针数为$\sum\limits_{i=0}^{h-1}{2^i}=2^h-1$；

满二叉树：

（1）满二叉树是一类特殊的二叉树，有着非常重要的性质；

（2）满二叉树中，任意两个结点之间的路径长度相同；

（3）高度为$h$的满二叉树中，共有$2^{h+1}-1$个结点；

（4）高度为$h$的满二叉树的空指针数为$2^h$。

4.应用

非空满二叉树和满二叉树在计算机科学中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用。

非空满二叉树：

（1）在计算机科学中，非空满二叉树通常用于表示表达式树；

（2）非空满二叉树也用于哈夫曼编码算法中；

（3）二叉堆是一种基于非空满二叉树的数据结构，它是一种常见的堆实现方式。

满二叉树：

（1）满二叉树分配的内存空间利用率非常高；

（2）AVL树和红黑树都基于满二叉树的思想而设计，它们是常见的自平衡二叉查找树。

（3）满二叉树是实现树形结构的基础，许多树型结构都是在满二叉树的基础上进行扩展而来。