高中数学二分法例题

二分法，又称折半法，是一种简单易懂的算法，在数学中广泛应用。在高中数学中，二分法常用于求函数零点、最大值、最小值等问题的数值解，其优点在于简单易懂，计算精度高。本文将从多个角度对高中数学中常见的二分法例题进行分析，以帮助初学者更好地掌握该算法。

一、基本思想

二分法的基本思想就是将一个区间不断缩小，使得所求的值在区间内，然后通过取中值逐步缩小该区间，直到满足要求。例如，对于函数$f(x)$，若$f(a)$与$f(b)$异号，则根据零点存在定理，其零点位于$(a,b)$区间内，可以通过二分法来逐步缩小该区间，最终求出$f(x)=0$的解$x$。

二、例题分析

下面我们来看一些常见的高中数学二分法例题。

例题1：二分法求根

已知方程$x^3-3x+1=0$有一个实根，利用二分法求解在$(0,1)$之间的近似解，并保留6位小数。

解析：首先，我们需要找到一个区间，使得方程在该区间上与x轴相交，显然当$x=0$时，$f(0)=1$，当$x=1$时，$f(1)=-1$，因此在$(0,1)$上可以使用二分法求解。我们可以先取中点$x_m=0.5$，计算$f(x_m)=-0.375$，与0的符号相同，因此实根位于$(0.5,1)$之间，我们可以继续取中点$x_m=0.75$，计算$f(x_m)=0.792$，与0的符号相反，因此实根位于$(0.5,0.75)$之间，继续取中点$x_m=0.625$，计算$f(x_m)=0.163$，与0的符号相反，因此实根位于$(0.625,0.75)$之间，继续取中点$x_m=0.6875$，计算$f(x_m)=-0.115$，与0的符号相同，因此实根位于$(0.625,0.6875)$之间，可以继续迭代求解，直到满足精度要求。

例题2：二分法求函数最大值

已知函数$f(x)=x^3-3x$，求$f(x)$在$[-2,2]$上的最大值，保留4位小数。

解析：如果要求一个函数的最大值，首先需要找到该函数的极值点。在本例中，我们可以对$f(x)$求导，得到$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm 1$，代入$f(x)$可得$f(-1)=2$，$f(1)=-2$，因此$f(x)$在$[-1,1]$上取得最大值2，可以使用二分法来逐步缩小该区间，最终求出$f(x)$的最大值。

例题3：二分法求递增函数的根

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上严格递增，且$f(0)<0$，$f(1)>0$，证明$f(x)=0$在$[0,1]$上存在唯一实根。

解析：由于$f(x)$在$[0,1]$上是严格递增的，因此$f(x)$在该区间上至多只有一个实根。同时由于$f(x)$在$[0,1]$的端点处符号相反，根据零点存在定理，$f(x)=0$在该区间上必定存在实根。为了证明该根是唯一的，我们可以假设存在两个实根$x_1 0$，然而根据中值定理，存在$c\in(x_1,x_2)$，使得$f(c)=0$，这与$f(x)$有至多一个实根的结论矛盾，因此$f(x)=0$在$[0,1]$上存在唯一实根。

三、结论

通过以上例题的分析，我们可以看到二分法在高中数学中广泛应用，并且具有简单易懂，计算精度高的特点。对于其他一些常见的问题，如求解函数的最小值、最大值等，也可以采用类似的方法进行求解。因此，初学者在学习二分法时，需要掌握其基本思想和常见的应用场景，以便在实际问题中灵活运用。