运筹匈牙利算法图解

运筹学是一门研究问题的优化方法和最优解的理论和方法，运筹学中的匈牙利算法是一种广泛应用的问题求解算法。本文将从算法步骤、应用场景和实际操作角度对运筹匈牙利算法进行图解分析。

一、算法步骤

1. 根据问题建立二分图模型，将左侧节点和右侧节点匹配形成边。

2. 初始化所有未匹配节点的标记值为0。

3. 对于每个左侧节点，依次进行增广路查找：

a. 如果该节点已经被匹配了，则跳过。

b. 如果该节点未被匹配，则找到与该节点相连的所有右侧节点中标记值最小的节点，将该节点与左侧节点匹配，标记值分别加1，结束查找。

c. 如果该节点未被匹配，且全部与之相连的右侧节点都已经被匹配了，则按照增广路的方法，从该节点出发查找增广路。

4. 输出所有匹配的节点及其对应的边，得到最大匹配。

二、应用场景

运筹匈牙利算法可以用于解决二分图最大匹配问题。在实际应用中，可以用来解决：

1. 乘务员配对问题：在列车运行中，需要对乘务员进行配对，使得每对乘务员可以完成一天的行车任务。

2. 装载问题：在装载集装箱到货轮上时，需要对于每个集装箱，选择一个最优的位置放置，以便于使用最小的空间容纳所有集装箱。

3. 人力资源管理问题：在企业中进行招聘、员工调度、组织结构优化等方面，都可以采用运筹匈牙利算法求解。

三、实际操作

以下是在Python中实现运筹匈牙利算法的具体步骤：

Step 1: 读取关系矩阵，构建二分图模型。

Step 2: 初始化未匹配节点的标记值为0。

Step 3: 对于每个未匹配节点，递归查找增广路。

Step 4: 输出所有匹配的节点及其对应的边。

import numpy as np

def find_path(v, unmatched_nodes, adjacency_matrix, matched_nodes, marks):

for i in range(len(unmatched_nodes)):

if (adjacency_matrix[v][unmatched_nodes[i]] == 1) and marks[unmatched_nodes[i]] == 0:

marks[unmatched_nodes[i]] = 1

if matched_nodes[unmatched_nodes[i]] == -1:

matched_nodes[unmatched_nodes[i]] = v

return True

else:

if find_path(matched_nodes[unmatched_nodes[i]], unmatched_nodes,

adjacency_matrix, matched_nodes, marks):

matched_nodes[unmatched_nodes[i]] = v

return True

return False

def hungarian_algorithm(adjacency_matrix):

num_nodes = len(adjacency_matrix)

match = -1 * np.ones(num_nodes, dtype=int)

marks = np.zeros(num_nodes, dtype=int)

for i in range(num_nodes):

if match[i] == -1:

marks[:] = 0

find_path(i, np.arange(num_nodes), adjacency_matrix, match, marks)

return match

adjacency_matrix = np.array([[0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0]])

match = hungarian_algorithm(adjacency_matrix)

print(match)