稀疏图适合用什么存储

稀疏图是指节点数量远大于边数量的图，通常在实际应用中常见。在处理大规模的稀疏图时，如何高效地存储和使用是一个非常重要的问题。本文从多个角度对此进行了分析。

一、存储结构

一种常见的稀疏图存储方式是邻接矩阵。邻接矩阵是一个$N\times N$的矩阵，其中$N$是节点数量。如果第$i$行第$j$列的元素为1，则表示节点$i$和$j$之间有一条边；如果为0，则表示没有边。由于稀疏图边数量较少，邻接矩阵中大部分元素都为0，因此造成了存储空间的浪费。

相对而言，稀疏图可以使用邻接表进行存储。邻接表是一种链式存储结构，每个节点都对应一个链表，链表中存储与该节点相邻的边。邻接表的存储空间不浪费，因为只存储了实际存在的边和节点信息。

二、存储方式

对于邻接表存储，有两种方式可以选择：顺序存储和链式存储。

1. 顺序存储

对于一个有向图$G(V,E)$，我们可以定义一个顺序的节点集合$V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$，其中$n$为节点数。假设图中最多有$m$条边，则可以定义一个大小为$m\times 2$的数组$edge$，$edge_{i,0}$和$edge_{i,1}$分别表示第$i$条边的起点和终点。对于每个节点$v_i$，用两个指针$first[i]$和$last[i]$分别表示以$v_i$为起点和终点的第一条和最后一条边在数组$edge$中的下标。具体来说，对于每个节点$v_i$，$edge[k,0]=i$，$edge[k,1]=j$，则$v_i$的出边链表的第一条边就是$edge[k]$，$last[i]$表示$v_i$的出边链表的最后一条边在数组$edge$中的下标。同样，$v_i$的入边链表的第一条边就是$edge[k]$，$first[i]$表示$v_i$的入边链表的第一条边在数组$edge$中的下标。

2. 链式存储

对于链式存储，每个节点$v_i$对应一条链表，链表中存储与$v_i$相邻的节点编号。链式存储的稀疏图存储方式类似于哈希表，每个节点$v_i$的链表头是一个哈希表节点，哈希表节点的值为指向链表第一个节点的指针。

三、使用

对于稀疏图的使用，通常需要考虑到实现算法的时间和空间复杂度。邻接矩阵存储在大多数情况下都不适合使用，因为它的空间复杂度为$O(N^2)$。在稀疏图的算法中，如果需要操作一个节点的出边或者入边链表，邻接表的链式存储方式通常比较合适。然而，当需要经常遍历节点时，顺序存储的方式可能会更加高效，因为它可以更好地利用计算机的缓存和预取机制，提高缓存的使用率。

对于不同类型的稀疏图，适用的存储方式可能不同。例如，在有向无环图（DAG）中，拓扑排序可以使用邻接表的链式存储结构来实现；而在二分图匹配算法匈牙利算法中，则通常会使用顺序存储的方式。

综上所述，对于稀疏图的存储和使用，应该根据具体情况来选择合适的存储方式。邻接表存储方式通常是最常见和合适的选择。如果需要高效地遍历节点或比较边的权重，可以考虑使用顺序存储的方式。