回溯法01背包问题限界函数

回溯法是求解01背包问题的一种经典方法。但是，在实际运用中，问题规模较大时，回溯法效率较低，时间复杂度过高。因此，为了解决这一问题，我们需要找到一种限界函数的方法来优化回溯法解决01背包问题。

01背包问题是指：有n个物品和一个容量为V的背包。第i个物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求装入背包的物品的最大价值总和。

在回溯法中，每次选择将一个物品装入背包或不装入，直到所有物品都被选择了一遍。为了避免枚举所有情况，我们要求出限界函数，即问题的上下界，在搜索时，不需要再搜索超出上界和下界的节点。

实际上，一个01背包问题的优化解决方法是动态规划。先看一下如下动态规划的问题转移状态：

dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包可以获得的最大价值。

如果你要把第i件物品装入背包，那么需要寻找剩余空间j-w[i]的最大价值，即dp[i - 1][j - w[i]]，将这个值加上第i件物品的价值v[i]即可得到当可以选择第i件物品时的最大价值。即：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]

如果你不装第i件物品，那么直接继承上一个状态即可，即:

dp[i][j] = dp[i - 1][j]

综合以上两种情况，得到01背包问题的动态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])

因此我们可以借鉴这个转移状态来考虑限界函数的定义。假设我们选到了第i件物品，剩下的k个物品可以按照单价降序排列，那么目前得到的最大价值为：

profit = sum v[i] + (k + 1) * r * w[i]

其中，r为物品单价，也就是 v[i]/w[i]。而(k+1)*r*w[i]则代表了当前及之后可选物品的最大总价值。

对于当前情况，我们可以利用profit作为上界，与当前最优解best比较，如果profit小于best即可剪枝。在实际应用中，当w[i]为最小物品重量时，可令r=0。即此时当前项及之后的最大可能价值只由前i件物品的价值之和决定。

总结一下，为了优化回溯法解决01背包问题，我们可定义一个限界函数profit，该函数代表当前选定第i件物品之后，剩下的物品按照单价降序排列后可能获得的最大价值。每次选择物品时，比较profit与当前最有解best的大小关系，如果profit小于best，即可剪枝。