若两个正规矩阵可交换,证明它们的乘积也是正规矩阵

若两个正规矩阵可交换，证明它们的乘积也是正规矩阵

正规矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它是指一个矩阵与其转置矩阵能够交换。而在矩阵乘法中，交换乘法顺序往往会导致结果的不同，但是对于正规矩阵，它们的乘积仍然是正规矩阵，本文将从多个角度进行分析。

一、正规矩阵的性质

在证明正规矩阵的乘积也是正规矩阵之前，我们先来看一下正规矩阵的性质。对于正规矩阵A，它满足下列性质：

1. A与其转置矩阵AT可交换。

2. A与其共轭矩阵AH可交换。

3. A可以由对角化得到。

考虑到正规矩阵的性质，我们可以从多个角度对证明进行分析。

二、基于定义的证明

我们可以根据正规矩阵的定义，来证明两个正规矩阵的乘积仍然是正规矩阵。设A、B是两个正规矩阵，即：

1. AA* = A*A

2. BB* = B*B

现在我们来看一下证明过程：

(AB)(AB)* = AB(BA)*B*

= AB(A*B)*B* （因为A和B可交换）

= ABA*(B*)*B*

= ABA*B*B*

= AB*AB

= (AB)*AB

由此可见，AB和(AB)*具有交换的性质，因此AB也是正规矩阵。

三、基于特征值的证明

我们知道，对于一个矩阵，如果它是正规矩阵，那么它可以对角化成为一个对角矩阵，且其对角线上的元素为其特征值。因此，我们可以通过对角化的方法来证明两个正规矩阵的乘积仍然是正规矩阵。

设A、B是两个正规矩阵，它们可以对角化成为两个对角矩阵D1和D2，且其对角线上的元素为其特征值。即：

A = P1D1P1^-1

B = P2D2P2^-1

其中，P1和P2为可逆矩阵。

那么AB就可以表示为：

AB = P1D1P1^-1P2D2P2^-1

= P1D1D2P2^-1P2

= P1D1D2P2^-1

由此可知，AB也可以对角化成为一个对角矩阵，其对角线上的元素为D1和D2的特征值的乘积。因此AB也是正规矩阵。

四、基于矩阵分解的证明

另外一种证明正规矩阵的乘积仍然是正规矩阵的方法是通过矩阵分解进行证明。我们知道，矩阵可以进行SVD分解，即奇异值分解。设A、B分别进行了SVD分解，即：

A = U1Σ1V1*

B = U2Σ2V2*

其中，U1、U2、V1、V2为酉矩阵，Σ1、Σ2为对角矩阵。

那么AB就可以表示为：

AB = U1Σ1V1*U2Σ2V2*

= U1Σ1Σ2V2*V1

= U3Σ3V3*

其中U3 = U1，V3 = V2，Σ3为Σ1、Σ2按位相乘得到的对角矩阵。

由此可见，AB也可以进行SVD分解，因此其也是正规矩阵。