哈夫曼树 构造

哈夫曼树是一种用于压缩数据的数据结构，由美国数学家哈夫曼在1952年发明。它是一种二叉树，通过一定的构造方法可以将给定的一组权值序列构造成一棵二叉树。

1.构造原理

哈夫曼树的构造原理是基于贪心算法，即每次选择权值最小的两个节点进行合并。在进行合并时，将两个节点看作左右子树，其权值之和作为根节点的权值，以此类推，直到所有节点都被合并为一棵树。根据构造方法可以证明，得到的哈夫曼树是一棵最优二叉树，可以使得每个数据的编码长度最短。

2.构造步骤

构造哈夫曼树的步骤如下：

（1）将给定的n个权值看作n棵只含一个节点的二叉树。

（2）将权值排序，从小到大依次选择两个权值最小的二叉树，将它们合并为一棵新的二叉树，根节点的权值为两个节点权值之和。新的二叉树中，原来的两棵子树分别成为新的根节点的左右子树。将新的二叉树插入到已有的二叉树集合中。

（3）重复步骤（2），直到所有的二叉树都被合并为一棵树。

3.应用场景

哈夫曼树广泛应用于数据压缩和加密、解密等领域。在数据压缩中，经过哈夫曼编码后可以使得原来的数据变得更加紧凑，减少占用空间。在加密、解密中，也可以通过哈夫曼树将明文转换为密文，或将密文转换为明文。

4.优缺点

哈夫曼树的优点是可以有效地压缩数据，使得原始数据变得更加紧凑，减少占用空间。缺点是构造哈夫曼树需要较高的时间复杂度，时间复杂度为O(nlogn)，并且在压缩小数据集时可能会得不偿失。