无向图的公式

无向图是一种常见的图形模型，由许多点和连接这些点的线或弧组成。在无向图中，所有的边都是没有方向的，也就是说，每条边连接的两个点是相互关联的，没有先后之分。

在无向图中，有许多公式可以用来描述它的特征和性质。本文将从多个角度分析无向图的公式，帮助读者更好地理解和应用无向图。

一、无向图的基本公式

1. 节点个数公式

无向图的节点个数公式为：N = |V|，其中 N 表示节点的个数，V 表示无向图的节点集合。

2. 边的个数公式

无向图的边的个数公式为：E = |E|/2，其中 E 表示图的边数。

3. 度数和公式

无向图中，节点的度数是指与该节点直接相连的边的总数。节点的度数和表示所有节点度数之和，即：2E。这是因为每条边都会与两个节点相连，因此每条边都会给节点的度数和增加2。

4. 最大度数公式

在无向图中，最大度数表示所有节点度数的最大值。最大度数公式为：δmax = max {deg(v)}，其中 v 表示无向图的节点集合。

5. 所有度数之和公式

所有度数之和公式为：2E = ∑deg(v)，其中 v 表示无向图的节点集合。

6. 连通分量公式

无向图中的连通分量是指由多个节点组成的互相连通的部分。如果一个无向图只由一个连通分量组成，则该图为连通图。否则，该图就是不连通图。无向图的连通分量公式为 C = |V| - k + 1，其中 C 表示连通分量的个数，V 表示无向图的节点集合，k 表示无向图的桥边数量。

7. 生成树公式

无向图中的生成树是指由所有节点和一些边组成的树状结构。生成树公式为 Nt = N - C，其中 Nt 表示生成树的数量，N 表示无向图的节点个数，C 表示无向图的连通分量个数。

二、无向图的算法公式

除了基本的公式，无向图中还有许多算法公式，用来解决不同的问题。

1. 普林斯顿算法公式

普林斯顿算法用于求解最小生成树问题。该算法的时间复杂度为 O(ElogE)，其中 E 表示边的数量。普林斯顿算法公式为：

```python

MST-Prim(G, w, r):

for each u ∈ V[G]

do key[u] ← ∞

π[u] ← NIL

key[r] ← 0

Q ← V[G]

while Q ≠ ∅

do u ← EXTRACT-MIN(Q)

for each v ∈ Adj[u]

do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v]

then π[v] ← u

key[v] ← w(u,v)

return A = {(π[v],v) : v ∈ V[G] - {r}}

```

2. 克鲁斯卡尔算法公式

克鲁斯卡尔算法也用于求解最小生成树问题。与普林斯顿算法不同，克鲁斯卡尔算法是一种贪心算法，其时间复杂度为 O(ElogV)，其中 V 表示节点个数。克鲁斯卡尔算法公式为：

```python

MST-Kruskal(G, w):

A ← ∅

for each v ∈ V[G]

do MAKE-SET(v)

sort the edges of E by nondecreasing weight w

for each (u, v) ∈ E, taken in nondecreasing order by weight

do if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v)

then A ← A ∪ {(u, v)}

UNION(FIND-SET(u), FIND-SET(v))

return A

```

三、无向图的应用公式

无向图不仅在学术领域常被使用，也在实际应用中发挥着重要的作用。下面将介绍一些在应用中常用的无向图公式。

1. 直径公式

在无向图中，直径指的是图中所有节点对距离的最大值。直径公式为 D = max(d(u, v))，其中 d(u, v) 表示节点 u 和节点 v 之间的距离。

2. 密度公式

无向图的密度表示图中所有边数与节点数之间的比例。密度公式为 D = E / (N * (N - 1) / 2)，其中 E 表示边的数量，N 表示节点的数量。

3. 聚类系数公式

聚类系数表示节点邻居之间的联系程度。聚类系数公式为 C = 2 * T / deg(v) * (deg(v) - 1)，其中 T 表示与节点 v 相邻的节点之间边的数量。