回溯法01背包问题状态空间树

回溯法（backtracking）是一种可以通过枚举系统中所有可能的选择来解决问题的算法。对于许多优化问题，最终的解决方案往往具有非常大的状态空间，我们需要用回溯法来枚举所有可能的情况。01背包问题就是一个经典的例子。

01背包问题的定义：有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个价值和重量，需要选出一些物品放入背包中，使得放入的物品总重量不超过背包容量，且总价值最大。

01背包问题是一个NP问题，也是一个经典的动态规划问题。在动态规划中，我们通常使用一个n*C的数组来保存所有的子问题的解，这样时间复杂度为O(n*C)。但是，当背包的容量C非常大时，动态规划算法的时间和空间复杂度将变得非常高。这时，回溯法可以派上用场。

回溯法的核心在于状态空间树。状态空间树是一个用来表示所有可能状态的树状结构。每个节点代表一个状态，每个边代表一种选择。对于01背包问题来说，每个节点代表当前装入或未装入某个物品的状态，每个边代表我们可以选择装入某个物品或者不装入某个物品。状态空间树如下图所示。


状态空间树的深度为n，宽度为2^n。可以发现，由于状态空间树的深度非常小，在时间和空间上比动态规划算法更加高效。另外，回溯法不需要存储所有的子问题的解，因此也可以省去一些空间。

回溯法的关键是如何剪枝。在不同的情况下，剪枝的方法也不同。以下是几种常见的剪枝方法：

1.总价值剪枝：在搜索的过程中，如果当前状态的总价值已经小于了之前求得的最大总价值，那么就可以剪枝。

2.剩余重量剪枝：对于每个状态，我们可以预先计算剩余的可用容量。如果新加入的物品超过了当前状态的剩余容量，那么就可以剪枝。

3.可行性剪枝：对于某些子问题，我们可以先通过一些其他方法求出其最优解或者可行解。如果当前状态不能产生更优的解或者不能产生可行解，那么就可以剪枝。

值得一提的是，回溯法的时间复杂度仍然非常高，还是不能解决大型的01背包问题。但是，回溯法的思想可以指导我们设计更加高效的算法。