二分法经典例题讲解

在计算机科学中，二分查找算法是一种基本的搜索算法，也称为折半搜索，二分查找或者是对数搜索，是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。本文将从原理、算法实现、时间复杂度和使用场景几个角度分析二分法，并以经典例题作为讲解。

1.原理

二分查找算法的原理其实很简单，就是将数组分成两部分，不断地缩小查找的范围，直到找到目标元素或者确定其不存在为止。

二分查找的前提条件是数组内的元素必须有序排列，可以是升序或降序。以升序为例，将数组下标为0到n-1的区间不断对半折，每次比较中间位置的元素与目标值的大小关系，缩小查找区间，直到找到目标元素或者目标元素不存在。

2.算法实现

二分查找算法实现可以使用递归或循环的方式，下面以循环方式为例：

```

int binary_search(int arr[], int len, int target) {

int low = 0, high = len - 1, mid;

while (low <= high) {

mid = (low + high) / 2;

if (arr[mid] == target) {

return mid;

} else if (arr[mid] < target) {

low = mid + 1;

} else {

high = mid - 1;

}

}

return -1;

}

```

上面是一个简单的二分查找算法实现，其中参数arr是要查找的有序数组，len是数组长度，target是要查找的目标值。算法实现从数组的最左端low开始，最右端high结束，通过计算中间位置mid来不断缩小查找区间，直到找到目标值或者确定目标值不存在为止。

3.时间复杂度

时间复杂度是算法的重要指标之一，可以衡量算法的执行效率，二分查找算法的时间复杂度为O(log n)，其中n表示数组元素个数。对于大规模的数据集，二分查找算法比顺序查找算法执行效率更高，因为顺序查找算法的时间复杂度为O(n)，要比二分查找算法慢得多。

4.使用场景

二分查找算法的适用场景主要是有序数组的查找，其复杂度只与查找区间的大小有关，与数组的规模无关，因此对于大规模的数据集来说，二分查找算法比顺序查找算法执行效率更高。另外，二分查找算法还可以用于其他问题的求解，例如极值点、数值逼近等。

5.经典例题分析

现在有一组有序数组nums，实现函数binary_search(nums, target)，其输入参数nums是待查找的有序数组，target是待查找的目标值，返回值是目标值在数组中的下标，如果目标值不存在，返回-1。

下面是一个例题的解答：

```

int binary_search(int arr[], int len, int target) {

int left = 0, right = len - 1;

while (left <= right) { // 区间[left, right]依然有效，left <= right

int mid = left + (right - left) / 2; // 防溢出

if (arr[mid] == target) return mid;

else if (arr[mid] < target) left = mid + 1;

else right = mid - 1;

}

return -1;

}

```

如果目标值存在，按照以上算法最多需要log n次比较，其中n表示数组元素个数，因此二分查找算法的时间复杂度是O(log n)。如果目标值不存在，最终会有left=right+1，算法结束，时间复杂度仍然是O(log n)。

6.