动态规划题目总结

动态规划（Dynamic Programming）是算法领域的一个重要分支，也是程序员面试中常见的一种算法思想。它主要是通过一些列的状态转移来解决一些具有规律性的问题，被广泛应用于图像识别、机器学习等领域。本文将从多个角度来分析动态规划，包括定义、特点、解题思路、常见题型等方面，以便读者更好地掌握和应用动态规划算法。

一、什么是动态规划

动态规划是一种算法思想，用于解决具有重复、规律性结构的问题。其基本思路是将问题分解为若干子问题，并递归地求解这些子问题。在求解子问题的同时，用较小规模的子问题的解推导出较大规模的子问题的解。通过不断地将子问题的解合并，最终得到原问题的解。

二、动态规划的特点

动态规划算法有以下特点：

1.具有重复、规律性结构的问题。这类问题通常具有较大的规模，难以直接求解，需要将问题分解为若干子问题，并求解这些子问题的解。

2.动态规划算法使用了较小子问题的解来推导较大子问题的解。这种重复使用已经计算出的答案的方法称之为“记忆化”。

3.动态规划算法通常会用一个二维数组来记录中间计算结果。这个数组通常被称为“状态表”。

三、解题思路

动态规划的解题思路通常包括以下几个步骤：

1.定义状态。这通常是问题的关键之一。将问题转化为状态的形式，可以更好地进行状态转移。

2.状态转移方程。这是动态规划问题的核心。通过状态转移方程，将问题分解为若干子问题，并递归地解决这些子问题。

3.状态表的建立。状态表被用来存储计算中间结果。在状态表中，每一个单元格对应一个状态，每个状态对应一个状态值。

4.返回结果。解决完子问题后，可以通过状态表中的数值推导出原问题的解。

四、常见题型

1.最长公共子序列问题。给定两个字符串，求它们的最长公共子序列的长度。

2.背包问题。有一个背包和一些物品，每个物品有相应的价值和重量，选择物品放入背包中，使得背包中物品价值最大。

3.最大子段和问题。给定一个序列，求其中连续子段的最大和。

4.矩阵连乘问题。给定一系列矩阵，求它们乘积的最小代价。