单位上三角矩阵定义

在线性代数中，单位上三角矩阵是一种特殊的上三角矩阵，其主对角线上的元素均为1。下面从矩阵本身、特殊性质以及应用三个角度分析单位上三角矩阵的定义。

1. 矩阵本身

设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 为一个 $n \times n$ 矩阵。若 $a_{ij}=0(i>j)$，即矩阵的下三角所有元素都为0；而对于主对角线上的元素，$a_{ii}=1(i=1,2,...,n)$，则称 $A$ 为单位上三角矩阵。

举个例子，下面这个 $4 \times 4$ 的矩阵就是一个单位上三角矩阵：

$$\begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & 8\\0 & 1 & 2 & 7\\0 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

2. 特殊性质

由定义可知，单位上三角矩阵是一种特殊的上三角矩阵。具体来说，它具有以下特殊性质：

（1）对于任意正整数 $n$，存在一个 $n \times n$ 的单位上三角矩阵。

（2）单位上三角矩阵的行列式为1。这一点很容易证明：对于一个单位上三角矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$，通过对每一行做初等变换，可以把 $A$ 变成一个对角矩阵，其对角线上元素的乘积即为 $A$ 的行列式。而由于对称性，每行进行的初等变换数目总是等于该行的行数减1，则在单位上三角矩阵中该乘积为1。

（3）单位上三角矩阵是一个可逆矩阵，且其逆矩阵也是一个单位上三角矩阵。这一点可以用矩阵的初等变换来证明。

3. 应用

单位上三角矩阵在线性代数中有着广泛的应用。下面列举几个例子：

（1）高斯-约旦消元法

高斯-约旦消元法是一种求解线性方程组的方式。为了消元时避免除法运算，常常先将系数矩阵 $A$ 做初等变换，化成一个单位上三角矩阵 $U$，再对向量 $b$ 做相应的初等变换，得到一个新向量 $c$，使得原方程组等价于 $Uc=d$，其中 $d$ 是经过相同初等变换得到的向量 $b$。这时候只需要回带求解即可。

（2）线性代数基础理论

在线性代数的许多基础理论中，单位上三角矩阵都扮演着非常重要的角色。例如，它可以用来证明矩阵的秩等于列秩。又如，在证明多项式插值定理时，采用 Vandermonde 矩阵对数据点进行线性组合变换，即将 Vandermonde 矩阵化为一个单位上三角矩阵，然后对向量做类似高斯-约旦消元法的操作即可证明。

（3）数值方法

在计算机科学和工程学中，基于单位上三角矩阵的方法也有着广泛的应用。例如，求解线性方程组的 Thomas 算法就是一种基于单位上三角矩阵的追赶法。还有一种数值求解微分方程的方法，称为泰勒-谱方法，也常常会用到单位上三角矩阵。