β分布公式是什么

β分布是概率论和统计学中的一种连续性概率分布，其函数形式包括两个参数: $α$ 和 $β$，常用于可视化概率密度函数 (PDF)、累积分布函数 (CDF) 和逆累积分布函数 (ICDF)。 β分布被广泛地应用于贝叶斯统计学、前景与背景混合分割、迈尔厄斯层次分析法等多个领域当中。在本文中，我们将从多个角度分析β分布公式的含义、推导过程、应用场景以及特性等。

1. 公式的含义

β分布公式如下式所示:

$P(x|α,β)=\dfrac{1}{B(α,β)}x^{α-1}(1-x)^{β-1}$

其中，$B(α,β)$ 是常数，称为Beta函数，定义为:

$B(α,β)=\dfrac{Γ(α)Γ(β)}{Γ(α+β)}$

其中，$Γ(x)$ 是Gamma函数，表示：

$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

β分布的自变量 $x$ 通常表示一个概率值，则 β 分布代表了一个概率分布的情况。换句话说， β 分布是一个概率分布，用于表征事件概率的不确定性。其中 $α$ 和 $β$ 是 β 分布的两个参数，$α$ 表示事件出现次数，$β$ 是事件未出现的次数。

2. 推导过程

β分布的推导通常有两种方法，一种是利用gamma函数进行推导，另一种则是利用贝尔函数进行推导。

（1）基于gamma函数的推导

我们知道， beta 函数的定义中用到了 gamma 函数，因此，通过 gamma 函数的性质，我们可以得到 beta 函数公式。

$𝐵(α, β)=\int_0^1t^{α-1}(1-t)^{β-1}dt$

我们对 $t = u+v$ 进行变量替换，然后对 $u$ 和 $v$ 分别进行单独积分，得到下式：

$𝐵(α, β)=\int_0^1u^{α-1}(1-u)^{β-1}du \int_0^1(1−v)^{α−1}v^{β−1}dv$

因为其中两个积分都是 gamma 函数形式，因此，使用 gamma 函数的性质合并起来，可以得到 beta 函数的公式。

$B(α, β)= \dfrac{\Gamma(α)\Gamma(β)}{\Gamma(α+β)}$

（2）基于贝尔函数的推导

对于 $α$ 和 $β$的值不是整数时，beta函数也可以用贝塞尔函数的形式表示。

假设 $f(x)$ 是一个连续可导的函数，且 $f(0)=0$，则 $K(x)$ 定义为：

$K(x)=\int_0^{\infty}{t^{α-1}(1+t)^{-α-β}}f(xt)dt$

将 $t=\dfrac{u}{1+u}$，令 $\omega=\dfrac{\exp{(ix)}}{1+u}$，进行变量替换，可以得到：

$K(x)=\dfrac{1}{(1+\exp{(ix)})^α(1-\exp{(ix)})^β}\int_0^\infty\dfrac{u^{α-1}}{(1+u)^{α+β}}f\Big(\dfrac{xu}{1+u}\Big)du$

可以看到，$K(x)$ 是 $f(x)$ 的一种加权求和形式，其中权重取决于 $α$ 和 $β$ 的值。当 $α$ 和 $β$ 的值为整数时，贝塞尔函数会退化为 beta 函数的形式。

3. 应用场景

β分布广泛地应用于概率论和统计学的多个领域。以下是 β 分布在一些应用场景上的应用：

（1）贝叶斯统计学

贝叶斯统计学是概率论的一个分支，涉及到 Bayesian 推理和Bayesian 模型。具体而言，当我们需要使用似然函数来估计某个 unknown 参数的分布时，可以使用 β 分布来模拟它的先验分布，然后再通过贝叶斯公式对它进行更新。

（2）前景与背景混合分割

在计算机视觉中，前景与背景混合分割是一种常见的技术，它可以用于识别视频图像中的对象并区分图像的前景和背景。这个问题可以转化为一个二元分割问题，因此，在实际应用中，我们可以使用 β 分布和高斯混合模型 (GMM) 进行前景的估计。

（3）迈尔厄斯层次分析法

迈尔厄斯层次分析法 (AHP) 是一种常用的决策支持技术，可以用β 分布来对不同的决策做出评估。

4. 特性

β 分布有以下一些特性和性质：

- $α=β$，则 $β$ 分布是对称的；

- $α$ 也被称为成功数， $β$ 也被称为失败数；

- β 分布是双峰的，且峰值点是 $k=\dfrac{α-1}{α+β-2}$；

- 当 $α=β=1$ 时， β 分布变成平均值分布，即均匀分布，服从 0~1 之间的一致分布；

- 当 $α=β>1$，则 β 分布服从集中分布。

综上所述， β 分布是一个在概率和统计学中广泛应用的模型，它有着丰富的应用场景和特性，可以帮助我们分析不确定性，做出正确的决策。