动态规划 最长子序列

动态规划最长子序列

在计算机科学和数学领域，最长子序列 (LCS) 问题是一个经典的问题。它是指在一个序列中找到另一个序列的最长的子序列，这个子序列可以在原序列中不相交。LCS 问题有很多应用，比如字符串编辑距离计算，生物学上的 DNA 序列比较等。解决 LCS 问题经常通过动态规划算法来完成。

什么是动态规划？

动态规划是一种算法设计技术，常用于在计算最优解问题时使用。它通过将问题分为小问题，并使用子问题的最优解来解决大问题。动态规划算法通常使用一个表格来保存所有的子问题的最优解，从而避免重复计算和优化计算时间。使用动态规划算法可以大大减少问题的计算时间。

最长子序列算法的动态规划实现

最长子序列问题可以通过动态规划算法来解决，这个算法通常被称为 LCS 算法。在 LCS 算法中，我们需要解决的是两个序列的最长子序列。我们可以使用一个二维数组来存储所有的匹配信息。如果两个序列的元素匹配，则该数组的元素为 1；否则为 0。我们使用 i 和 j 来分别表示两个序列的当前元素位置。我们使用 c[i][j] 来表示这两个序列前 i 和 j 个元素的最长公共子序列长度。

使用动态规划算法时，我们需要先初始化一个大小为 (n+1) * (m+1) 的二维数组，其中 n 和 m 分别表示两个序列的长度。接着我们使用一个双重循环来遍历这个二维数组，并计算出每一个 c[i][j] 的值。我们使用以下公式来计算 c[i][j]：

c[i][j] = 0 (i = 0 或 j = 0)

c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 (x[i] = y[j])

c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j]) (x[i] ≠ y[j])

最后，二维数组的右下角元素 c[n][m] 就是两个序列的最长公共子序列的长度。

LCS 算法的时间和空间复杂度

使用动态规划算法来解决最长子序列问题时，它的时间复杂度是 O(m*n)。其中 m 和 n 分别代表两个序列的长度。这是因为我们需要遍历二维数组中的每一个元素，并计算它的值。

与此同时，使用动态规划算法需要额外的空间来存储计算出的二维数组。该数组的大小为 (m+1) * (n+1)，因此该算法的空间复杂度为 O(m*n)。在实际应用中，这些空间要求可能会妨碍算法的性能。

总之，动态规划是一种高效的算法设计技术，最长子序列问题也是一个经典的动态规划问题。LCS 算法可以通过动态规划算法来解决，并具有 O(m*n) 的时间和空间复杂度。