二叉平衡排序树怎么构造

二叉平衡排序树，也称为AVL树，是一种自平衡二叉排序树。它的目的是为了避免二叉排序树的退化，使得树的高度尽量小，从而减小查找、插入、删除等操作的时间复杂度。本文将从多个角度探讨如何构造二叉平衡排序树。

1.二叉平衡排序树的定义

二叉平衡排序树是一种特殊的二叉排序树，它满足以下两个条件：

（1）树的左右子树的高度差不超过1；

（2）树的每个节点的左子树和右子树仍然是二叉排序树。

2.二叉平衡排序树的性质

从上述定义可得到以下结论：

（1）一棵n个节点的AVL树的高度不超过1.44 * log2(n+2)；

（2）插入、删除元素的时间复杂度均为O(log n)；

（3）查询元素的时间复杂度也是O(log n)。

3.构造AVL树的方法

在AVL树中，平衡因子为每个节点的左子树高度减去右子树高度。根据定义，AVL树的平衡因子必须为-1、0或1。对于任何一个节点，如果它的平衡因子不满足AVL树的定义，那么就要进行一系列旋转操作来调整树的平衡。

AVL树的旋转操作分为左旋转、右旋转、左右旋转、右左旋转四种情况。左旋转和右旋转是最基础的旋转操作。如果要将一棵AVL树进行左旋转，需要满足以下条件：

（1）该节点的平衡因子为2（即该节点的左子树高度比右子树高度大2）；

（2）该节点的左子树的平衡因子为1或0。

如果以上两个条件都满足，那么可以进行左旋转操作。具体操作如下：

（1）将该节点的左子节点作为该节点的父节点；

（2）将该节点的左子节点的右子节点作为该节点的左子节点；

（3）将该节点作为该节点的左子节点的右子节点；

（4）更新各节点的平衡因子。

右旋转的操作和左旋转类似，不再赘述。

4.构造AVL树的示例

下面以一个具体的例子来演示如何构造AVL树。假设要构造的AVL树包含以下元素：6、9、5、3、7、12、2、4、11、8。

（1）将6插入空树中，得到如下图：

6

（2）插入9，得到如下图：

6

\

9

（3）插入5，得到如下图：

6

/ \

5 9

（4）插入3，得到如下图（需要进行左旋转操作）：

6

/ \

5 9

/

3

左旋转后:

6

/ \

3 9

/ \

2 5

（5）插入7，得到如下图：

6

/ \

3 9

/ \ /

2 5 7

（6）插入12，得到如下图：

6

/ \

3 9

/ \ / \

2 5 7 12

（7）插入4，得到如下图（需要进行右左旋转操作）：

6

/ \

4 9

/ \ / \

3 5 7 12

/

2

右左旋转后：

6

/ \

4 9

/ \ / \

3 5 7 12

/

2

5.