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回溯法n后问题解空间树

希赛网 2024-03-15 09:05:06

回溯法是求解问题的一种常见方法,特别是对于一些复杂或者不可直接求解的问题,回溯法通常是很有效的。回溯法的基本思路是尝试所有可能的解空间,并对其中不符合条件的进行剪枝去除。而n后问题是回溯法的一种典型问题,其解空间树可以作为回溯过程中的工具,可以帮助我们更好地理解回溯法的工作原理。下面从多个角度分析回溯法n后问题解空间树。

1. 解空间树的定义

解空间树是在回溯法中常见的概念,它是指对于一个问题的所有可能解,按照规则和限制分支展开的树形结构。在n后问题中,每个节点都代表了一个棋盘的状态,也就是摆放了若干个皇后的棋盘。每次扩展节点时,都需要满足新加入的皇后不能在同一行、同一列或同一斜线上,因此每个节点会有多个分支,代表了该位置可以放置皇后的所有可能性。通过深度优先搜索遍历解空间树,可以找到所有满足条件的摆法。

2. 解空间树的大小

n后问题的解空间树大小受到n的影响,其根节点有n个分支,往下每个节点至多有n-1个分支。因此,解空间树的总大小为n(n-2)(n-3)...1,即n!。当n较小时,解空间树的规模还是比较小的,可以通过暴力搜索遍历所有节点。但当n增大后,解空间树的规模呈指数级增长,暴力搜索无法解决。这时需要使用回溯法,通过剪枝去除不符合条件的子树,缩小解空间规模。

3. 剪枝策略

回溯法中的剪枝是关键步骤,它可以帮助我们高效地找到满足条件的解。在n后问题中,有两种常见的剪枝策略,分别是行和对角线剪枝。行剪枝指的是,在同一行放置了皇后后,无论如何其他行都不能再放置皇后了,因为同一行只能放置一个,如此直接将该行剪枝即可。对角线剪枝则更为复杂,需要检查新加入的皇后是否和之前已经放置的皇后在同一对角线上,如果是则剪枝去除该子树。对角线剪枝是n后问题中最重要的剪枝策略,它可以将解空间规模压缩至可接受的范围。

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